Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC边上分别截取CD=CE，连结DE．将△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，连结BE、AD．

（1）当0°＜θ＜90°时，如图②，直线BE交直线AD于点F．

①求证：△ACD≌△BCE．

②求证：AF⊥BE．

（2）当0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，直接写出AF的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

试题分析: （1）①根据旋转的性质和已知，运用SAS证明即可；②由问题原型中的结论：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，结合等量代换进行求解即可；

（2）运用CD∥BE结合初步探究中的结论，可证CD⊥AF，结合勾股定理即可求解．

试题解析：（1）①如图②，

∵△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，由旋转的性质可知，

∴∠ACD=∠BCE=θ，

又∵AC=BC，CD=CE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE；

②如图②，设AF与BC交点于O，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠DAC=∠EBC，

∵∠AOC=∠BOF，

∴∠BFO=∠ACB=90°，

∴AF⊥BE；

（2）如图③，

∵AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，

∵AD⊥CD，

∴AD=，

∴AF=4+3=7，

如图4，

∴AF=4﹣3=1．