Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+2ax+c的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（-3，0）
（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；
（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，得：

解得：．
所以，所求二次函数的解析式为：y=-x²-2x+3，顶点D的坐标为（-1，4）．

（2）连接OD，如右图；
易求：S_△OBD=×3×4=6，S_{四边形ACDB}=S_△ABD+S_△ACD=×3×4+×3×2=9．
因此直线OM必过线段BD，易得直线BD的解析式为y=2x+6；
设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6．
①当S_△OBE=×9=3时，易得E点坐标（-2，2），
则直线OE的解析式为y=-x，
设M点坐标（x，-x），联立抛物线的解析式有：
-x=-x²-2x+3，
解得：x₁=，x₂=（舍去），
∴M（，）．
②当S_△OBE=×9=6时，同理可得M点坐标．
∴M点坐标为（-1，4）．

（3）连接OP，设P点的坐标为（m，n），因为点P在抛物线上，所以n=-m²-2m+3，
所以S_△CPB=S_△CPO+S_△OPB-S_△COB
=OC•（-m）+OB•n-OC•OB
=-m+n-
=（n-m-3）
=-（m²+3m）
=-（m+）²+．
因为-3＜m＜0，所以当m=-时，n=．△CPB的面积有最大值．
所以当点P的坐标为（-，）时，△CPB的面积有最大值，且最大值为．
分析：（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．
（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S_△OBD：S_{四边形ACDB}=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的或，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．
（3）此题必须先得到关于△CPB的面积函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB的面积最大值以及对于的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出，据此思路来解即可．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）题中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．