Question

14．如图，△ABC和△CDE是两个不全等的等边三角形．AC、AD分别交BE与G、F点，AD与CE交于H点．猜想：
（1）△BCG与△ACH全等吗？若全等，请说明理由．
（2）M、N分别是BE、AD的中点．
①△BCM≌△CAN吗？
②△CMN是等边三角形吗？

Answer 1

分析 （1）△BCG与△ACH全等，先根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等得到∠EBC=∠CAD，再证明∠ACB=∠ACH=60°，又BC=AC，可证得△BCG与△ACH全等；
（2）①△BCM≌△CAN，根据△ACD和△BCE全等，由全等三角形对应角相等得到∠EBC=∠CAD，BE=AD，由M、N分别是BE、AD的中点，可得BM=AN，即可证明△BCM≌△CAN；
②根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠CBE，再根据中点定义求出AM=BN，然后利用“边角边”证明△ACM和△BCN全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠BCN，然后求出∠MCN=∠ACB=60°，从而得证．

解答 解：（1）△BCG与△ACH全等，
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，
∠DCE+∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠EBC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠ACH，
在△BCG和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBC=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠GCB=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ACH．
（2）①△BCM≌△CAN，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠CAD，BE=AD，
∵M、N分别是BE、AD的中点，
∴BM=AN，
在△BCM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠MBC=∠NAC}\\{BM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN（SAS）．
②△MNC是等边三角形．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，
∴△MNC是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图找出全等的条件是解题的关键．