Question

4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD．绿化带的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住，绿化带的BC的边长为x m，绿化带的面积为y m²．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
（3）若要在围成矩形绿化带要在中间加一道栅栏，写出此时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当x为何值时，绿化带的面积最大？

Answer 1

分析 （1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围；
（2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得y的最大值即可；
（3）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围并用配方法化简求得x为何值时，绿化带的面积最大．

解答 解：（1）由题意得：y=x×$\frac{40-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤25，
（2）y=-$\frac{1}{2}$x²+20x
=-$\frac{1}{2}$（x-20）²+200
∵20＜25，
∴当x=20时，y有最大值200平方米
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．
（3）由题意得：y=x×$\frac{40-x}{3}$=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{40}{3}$x，
自变量x的取值范围是0＜x≤25，
y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{40}{3}$x
=-$\frac{1}{3}$（x-20）²+$\frac{400}{3}$
∵20＜25，
∴当x=20时，y有最大值$\frac{400}{3}$平方米，
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．

点评 本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．