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【题目】如图,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F.
(1)如图1,求证:EF∥AC;

(2)如图2,OP⊥AO交BE于点P,交FE的延长线于点M.求证:△PME是等腰三角形;

(3)如图3,在(2)的条件下:CG⊥AB于H点,交⊙O于G点,交AC于Q点,如图2,若sinF= ,EQ=5,求PM的值.

【答案】
(1)解:证明:连接OE,

∵EF是圆的切线,

∴OE⊥FE,

∴∠F+∠FOE=90°,

∴AB为直径,

∴∠C=90°,

∴∠ABC+∠CAB=90°,

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE,

∵BE是∠B的平分线,

∴∠OBE=∠CBE,

∵∠FOE=∠OEB+∠OBE,

∴∠EOF=∠ABC,

∴∠F=∠CAB,

∴EF∥AC;


(2)解:连接OC,OE,

∵OP⊥AO交BE于点P,

∴∠OPB+∠OBE=90°,

∵∠OEB+∠MEB=90°,

∴∠OPB=∠MEB,

又∵∠OPB=∠EPM,

∴∠MEP=∠MPE,

∴MP=ME,

∴△PME是等腰三角形;


(3)解:连接OE,

∵∠F=∠CAB,

∴sinF=sin∠CAB=

∵EG⊥AB于H点,

∴∠AEG=∠ABE,

∵∠ABE=∠EAC,

∴∠EAC=∠AEG,

∴AQ=EQ=5,

∵QH=3,AH=4,

∴EH=EQ+QH=8,

设OE=x,则OH=AO﹣AH=x﹣4,

在Rt△EHO中,x2=82+(x﹣4)2

解得:x=10,

∴OE=10,

∵BE是∠B的平分线,

∴OE⊥AC,

∴∠CAB+∠AOD=90°,

∵∠EOM+∠AOD=90°,

∴∠EOM=∠CAB,

∴sin∠EOM=

∴tan∠EOM= =

∴ME=

∴PM=ME=


【解析】(1)EF是圆的切线,因此;连接OE,OE⊥FE,即∠F+∠FOE=90°,AB为直径,得出∠ABC+∠CAB=90°,再证明∠OEB=∠OBE,由BE是∠B的平分线,得出∠OBE=∠CBE,再证明∠F=∠CAB,即可得出结论。
(2)连接OC,OE,由OP⊥AO得出∠OPB与∠OBE互余,∠OEB与∠MEB互余,得出∠OPB=∠MEB,再根据对顶角相等,推出MP=ME,即可得出结论。
(3)连接OE,根据已知求出sin∠CAB的值及EH的长,在Rt△EHO中,根据勾股定理建立方程,解方程求出OE的长,再证明∠EOM=∠CAB,在Rt△EPM中,求出ME的长,即可得出PM的长。
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.

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