Question

【题目】阅读下列材料，解决后面三个问题：

我们可以将任意三位数表示为（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a ≠0），显然=100a +10b +c；我们形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意两对“姊妹数”。

（2）一对“姊妹数”的和为1110，求这对“姊妹数”。

（3）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．

Answer 1

【答案】（1）234和432是一对姊妹数，345和543是一对姊妹数；

（2）这对“姊妹数”位654和456.

（3）见解析．

【解析】

（1）根据“姊妹数”的意义即可直接写出两对“姊妹数”；

（2）根据“姊妹数”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数”，求和，用1110建立方程求解即可；
（2）表示出这对“姊妹数”，并且求和，写成37×6（x1），判断6（x1）是整数即可．

（1）根据“姊妹数”满足的条件得，234和432是一对姊妹数，345和543是一对姊妹数；

（2）设这对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x1），百位数字为（x＋1），（x为大于1小于9的整数），
∴这个三位数为100（x＋1）＋10x＋x1＝111x＋99，
∴另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x＋1），百位数字为（x1），则这个三位数为100（x1）＋10x＋x＋1＝111x99，
∴这对“姊妹数”的和为（111x＋99）＋（111x99）＝222x＝1110，
∴x＝5，符合题意，
∴这对“姊妹数”位654和456.

（3）∵x表示一个三位数的百位数字，（x为大于2小于9的整数），
根据“姊妹数”的意义得，这个三位数的十位数字为（x1），个位数字为（x2），
∴这个三位数为：100x＋10（x1）＋（x2）＝111x12，
∴它的“姊妹数”为：100（x2）＋10（x1）＋x＝111x210，
∴这对“姊妹数”的和为：（111x12）＋（111x210）＝222x222＝222（x1）＝37×6（x1），
∵x为大于2小于9的整数，
∴（x1）是整数，
∴6（x1）是整数，
∴37×6（x1）能被37整除，
即：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．