Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点和点关于原点对称，点是直线位于轴右侧部分图象上一点，连接，已知．

（1）求直线的解析式；

（2）如图2，沿着直线平移得，平移后的点与点重合．点为直线上的一动点，当的值最小时，请求出的最小值及此时点的坐标；

（3）如图3，将沿直线是翻折得点为平面内任意一动点，在直线上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是矩形；若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）点，，最小值；

（3）点，或，．

【解析】

（1）点和点关于原点对称，则点，将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；

（2）过点作直线轴，过点作，垂足为点，交于点，则，即此时，最小，最小值为，即可求解；

（3）点、均在直线上，而与不垂直，故点不可能是矩形的边，只能是矩形的对角线，即可求解．

解：（1）点和点关于原点对称，则点，

将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，

故直线的表达式为：；

（2）过点作直线轴，过点作，垂足为点，交于点，

，故，，

，，

则，即此时，最小，最小值为，

，则，

故点，，

，则点，，

则点，，

点，，

最小值；

（3）存在，理由：

①当时，

如图，

，，

则，

故点，；

、、、为顶点的四边形是矩形，

点位置如下图所示，设点，

将点、的坐标代入一次函数：得：，解得：，

故直线的表达式为：①，

，则设直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式得：，解得：，

故：直线的表达式为：②，

联立①②并解得：，

故点，；

②当时，

同理可得：点，；

综上所述，点，或，．