Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于____．

Answer 1

【答案】18

【解析】

过F作AM的垂线交AM于D，连接FP，通过证明△ADF≌△BCA，△DFK≌△CAT，得出S2=S△ABC；证明△FPT≌△EMK，可得出S1+S3=S△AQF=S△ABC；证明△ABC≌△EBN，得出S4=S△ABC，进而即可求解．

解：过F作AM的垂线交AM于D，连接FP，则

∠FDA=∠DAQ=∠Q=90°，∴四边形ADFQ为矩形，∴∠PFD=90°，∴∠FPC=90°，

∴点F，P，Q在同一直线上．

∵四边形ABEF为正方形，

∴AB=AF，∠FAB=90°=∠FAD+∠CAB，

又∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠ABC，

又∠ACB=∠ADF=90°

∴△ADF≌△BCA(AAS)①，

∴DF=AC，同理可得△DFK≌△CAT，
∴S2=S△ADF=S△ABC．
由△DFK≌△CAT，∴FK=AT，∠DKF=∠CTA，

∴KE=FT，∠EKM=∠FTP，又∠M=∠FPT=90°，

∴△FPT≌△EMK(AAS)，
∴S3=S△FPT，
又四边形ADFQ为矩形，∴S△AQF＝S△ADF =S△ACB，
∴S1+S3=S△AQF=S△ABC．
同①可证明△ABC≌△EBN，
∴S4=S△ABC，
∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=S△ABC+S△ABC+S△ABC=6+6+6=18，
故答案为：18．