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【题目】如图,抛物线经过原点O(0,0),点A(1,1),点B(,0)

(1)求抛物线解析式;

(2)连接OA,过点AACOA交抛物线于C,连接OC,求AOC的面积;

(3)点My轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点MMNOMx轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1);(2)4;(3),﹣54)或()或(,﹣

【解析】

(1)设交点式y=ax(x-),然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;

(2)延长CAy轴于D,如图1,易得OA=DOA=45°,则可判断AOD为等腰直角三角形,所以OD=OA=2,则D(0,2),利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-x+2,再解方程组,得C(5,-3),然后利用三角形面积公式,利用SAOC=SCOD-SAOD进行计算;

(3)如图2,作MHx轴于H,AC=4,OA=,设M(x,-x2+x)(x>0),根据三角形相似的判定,由于∠OHM=OAC,则当时,OHM∽△OAC,即;当时,OHM∽△CAO,即,则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标,由于OMH∽△ONM,所以求得的M点能以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似.

1)设抛物线解析式为y=ax(x-),

A(1,1)代入得a1(1-)=1,解得a=-

∴抛物线解析式为y=-x(x-),

y=-x2+x;

(2)延长CAy轴于D,如图1,

A(1,1),

OA=DOA=45°,

∴△AOD为等腰直角三角形,

OAAC,

OD=OA=2,

D(0,2),

易得直线AD的解析式为y=-x+2,

解方程组,则C(5,-3),

SAOC=SCOD-SAOD=×2×5-×2×1=4;

(3)存在.如图2,

MHx轴于H,AC=,OA=

M(x,-x2+x)(x>0),

∵∠OHM=OAC,

∴当时,OHM∽△OAC,即

解方程-x2+x =4xx1=0(舍去),x2=-(舍去),

解方程-x2+x =-4xx1=0(舍去),x2=,此时M点坐标为(,-54);

时,OHM∽△CAO,即

解方程-x2+x=xx1=0(舍去),x2=,此时M点的坐标为(),

解方程-x2+x=-xx1=0(舍去),x2=,此时M点坐标为(,-);

MNOM,

∴∠OMN=90°,

∴∠MON=HOM,

∴△OMH∽△ONM,

∴当M点的坐标为(,-54)或()或(,-)时,以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似.

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