Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴的交点为C（0，2），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，若S_△AOB=4．
（1）求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件知OC=2．而点B（2，n）在第一象限内，S_△AOB=4，由此得到

1

2

OC•OA+

1

2

OC×2=4，利用这个等式可以求出OA=2，也就求出点A的坐标，然后设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用点A，C的坐标根据待定系数法即可确定直线AB的解析式，而点B（2，n）在直线AB上，由此可以得到n=4，再利用待定系数法就可以确定反比例函数的解析式；
（2）过点O作OD⊥AB于D，BE⊥y轴于E，根据已知条件和勾股定理可以分别得到OD=CD=

2

，BC=2

2

，BD=3

2

，最后利用三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．

解答：解：（1）由C（0，2），得OC=2．
∵点B（2，n）在第一象限内，S_△AOB=4．
∴

1

2

OC•OA+

1

2

OC×2=4．
∴OA=2．
∴点A的坐标是（-2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将点A，C的坐标分别代入，得

-2k+b=0 b=2.

，
解得

k=1 b=2.

∴直线AB的解析式为y=x+2．（2分）
∵点B（2，n）在直线AB上，
∴n=4
设反比例函数的解析式为y=

k

x

(a≠0)．
将点B的坐标代入，得4=

k

2

，
∴k=8．
故反比例函数的解析式为：y=

8

x

；

（2）过点O作OD⊥AB于D．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（-2，0），
∴OA=OC=2，∠OCA=45°，
∴OD=CD=

2

，
∵B（2，4），C（0，2），
∴BC=2

2

，
∴BD=BC+CD=2

2

+

2

=3

2

，
∴tan∠ABO=

OD

BD

=

1

3

．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时首先利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用三角函数的定义和勾股定理即可解决问题．