Question

已知AC与AB切⊙O于C、B两点，过

BC

上一点D作⊙O切线交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE=5，EF=4，则AO=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：

分析：如图，首先求出AF、AC的长度；分别证明△EOC≌△EOG，△GOF≌△BOF，进而得到：SOCEFB=2S△EOF=

1

2

EF•R×2=EF•R=4R（R为⊙O的半径），S△AEF=

1

2

AF•EF=6，SOCAB=

1

2

AC•OC×2=AC•OC=6R，运用上述面积之间的关系求出R，借助勾股定理问题即可解决．

解答：解：如图，
∵EF⊥AB，AE=5，EF=4，
∴AF²=5²-4²=9，
∴AF=3；
∵ABACEF分别是⊙O的切线，
∴AB=AC，EG=EC，FG=FB；
OC⊥EC，OG⊥GE，OB⊥FB；
∴AE+EF+AF=AC+AB=2AC=12，
∴AC=6；
在RT△EOC与RT△EOG中，

OC=OG OE=OE

，
∴RT△EOC≌RT△EOG（HL），
同理可证：△GOF≌△BOF，
∴SOCEFB=2S△EOF=

1

2

EF•R×2=EF•R=4R（R为⊙O的半径），
∵S△AEF=

1

2

AF•EF=6，
SOCAB=

1

2

AC•OC×2=AC•OC=6R，
∴4R+6=6R，
∴R=3，
由勾股定理得：
AO²=6²+3²，
∴AO=3

5

，
股改答案为3

5

．

点评：该命题以圆为载体，以切线的性质定理、切线长定理、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或证明．