【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4,求此“路线”L的解析式;
(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.
【答案】(1)m的值为﹣1,n的值为1.(2)y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.(3)≤S≤.
【解析】
试题分析:(1)确定直线y=mx+1与y轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出n的值;再根据抛物线的解析式找出顶点坐标,将其代入直线解析式中即可得出结论;(2)确定直线与反比例函数图象的交点坐标,由此设出抛物线的解析式,再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可得出结论;(3)由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标,再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标,由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式,找出该直线与x、y轴的交点坐标,结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上,由二次函数的性质即可得出结论.
试题解析:(1)令直线y=mx+1中x=0,则y=1,
即直线与y轴的交点为(0,1);
将(0,1)代入抛物线y=x2﹣2x+n中,
得n=1.
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴抛物线的顶点坐标为(1,0).
将点(1,0)代入到直线y=mx+1中,
得:0=m+1,解得:m=﹣1.
答:m的值为﹣1,n的值为1.
(2)将y=2x﹣4代入到y=中有,
2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,
解得:x1=﹣1,x2=3.
∴该“路线”L的顶点坐标为(﹣1,﹣6)或(3,2).
令“带线”l:y=2x﹣4中x=0,则y=﹣4,
∴“路线”L的图象过点(0,﹣4).
设该“路线”L的解析式为y=m(x+1)2﹣6或y=n(x﹣3)2+2,
由题意得:﹣4=m(0+1)2﹣6或﹣4=n(0﹣3)2+2,
解得:m=2,n=﹣.
∴此“路线”L的解析式为y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.
(3)令抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k中x=0,则y=k,
即该抛物线与y轴的交点为(0,k).
抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的顶点坐标为(﹣,),
设“带线”l的解析式为y=px+k,
∵点(﹣,)在y=px+k上,
∴=﹣p+k,
解得:p=.
∴“带线”l的解析式为y=x+k.
令∴“带线”l:y=x+k中y=0,则0=x+k,
解得:x=﹣.
即“带线”l与x轴的交点为(﹣,0),与y轴的交点为(0,k).
∴“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|,
∵≤k≤2,
∴≤≤2,
∴S===,
当=1时,S有最大值,最大值为;
当=2时,S有最小值,最小值为.
故抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤.
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【题目】为了培养学生的阅读习惯,某校开展了“读好书,助成长”系列活动,并准备购置一批图书,购书前 ,对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查,并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图,如图所示,根据统计图所提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查共抽查了 名学生,两幅统计图中的m= ,n= .
(2)已知该校共有960名学生,请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人?
(3)学校要举办读书知识竞赛,七年(1)班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛,求选送的两名参赛学生为1男1女的概率是多少?
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求函数y=kx+b和y=的表达式;
(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.
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【题目】直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角(且),得到Rt△.
(1)如图,当边经过点B时,求旋转角的度数;
(2)在三角板旋转的过程中,边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥交边于点E,联结BE.
①当时,设AD=,BE=,求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围;
②当时,求AD的长.
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【题目】如图1,∠MON=90°,点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合).
(1)若BC是∠ABN的平分线,BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交与点D. ①若∠BAO=60°,则∠D=°.
②猜想:∠D的度数是否随A,B的移动发生变化?并说明理由 .
(2)若∠ABC= ∠ABN,∠BAD= ∠BAO,则∠D=°.
(3)若将“∠MON=90°”改为“∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC= ∠ABN,∠BAD= ∠BAO,其余条件不变,则∠D=°(用含α、n的代数式表示)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标.
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