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【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+ca,b,c是常数,abc≠0与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.

1若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;

2若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4,求此“路线”L的解析式;

3当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+3k2﹣2k+1x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.

【答案】1m的值为﹣1,n的值为1.2y=2x+12﹣6或y=﹣x﹣32+2.3≤S≤

【解析】

试题分析:1确定直线y=mx+1与y轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出n的值;再根据抛物线的解析式找出顶点坐标,将其代入直线解析式中即可得出结论;2确定直线与反比例函数图象的交点坐标,由此设出抛物线的解析式,再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可得出结论;3由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标,再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标,由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式,找出该直线与x、y轴的交点坐标,结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上,由二次函数的性质即可得出结论.

试题解析:1令直线y=mx+1中x=0,则y=1,

即直线与y轴的交点为0,1

0,1代入抛物线y=x2﹣2x+n中,

得n=1.

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=x﹣12

∴抛物线的顶点坐标为1,0

将点1,0代入到直线y=mx+1中,

得:0=m+1,解得:m=﹣1.

答:m的值为﹣1,n的值为1.

2将y=2x﹣4代入到y=中有,

2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,

解得:x1=﹣1,x2=3.

∴该“路线”L的顶点坐标为﹣1,﹣63,2

令“带线”l:y=2x﹣4中x=0,则y=﹣4,

∴“路线”L的图象过点0,﹣4

设该“路线”L的解析式为y=mx+12﹣6或y=nx﹣32+2,

由题意得:﹣4=m0+12﹣6或﹣4=n0﹣32+2,

解得:m=2,n=﹣

∴此“路线”L的解析式为y=2x+12﹣6或y=﹣x﹣32+2.

3令抛物线L:y=ax2+3k2﹣2k+1x+k中x=0,则y=k,

即该抛物线与y轴的交点为0,k

抛物线L:y=ax2+3k2﹣2k+1x+k的顶点坐标为

设“带线”l的解析式为y=px+k,

∵点在y=px+k上,

=﹣p+k,

解得:p=

∴“带线”l的解析式为y=x+k.

令∴“带线”l:y=x+k中y=0,则0=x+k,

解得:x=﹣

即“带线”l与x轴的交点为,0,与y轴的交点为0,k

∴“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|,

≤k≤2,

≤2,

∴S===

=1时,S有最大值,最大值为

=2时,S有最小值,最小值为

故抛物线L:y=ax2+3k2﹣2k+1x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤

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