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    【题目】如图，将正方形绕点逆时针旋转至正方形，边交于点，若正方形的边长为，则的长为________．

    【答案】

    【解析】

    连接AE，由旋转性质知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．

    解：如图，连接AE，

    ∵将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，

    ∴AD＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB＝90°

    ∴∠B′AD＝60°，

    在Rt△ADE和Rt△AB′E中，

    ，

    ∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），

    ∴∠DAE＝∠B′AE＝∠B′AD＝30°，

    ∴DE＝ADtan∠DAE＝3×＝，

    故答案为．

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    【题目】近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示支付方式有：微信、支付宝、现金、其他．该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

    （1）本次一共调查了 名购买者？

    （2）请补全条形统计图；在扇形统计图中，种支付方式所对应的圆心角为 度；

    （3）若该超市这一周内有2000名购买者，请你估计使用和两种支付方式的购买者共有多少名？

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    【题目】某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：

    ①抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不论 a 为何值时，它的顶点都在某条直线上；

    ②抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其顶点的横坐标减少，纵坐标增加得到A点，若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点，则A，B两点一定在抛物线y = ax 2 2x + 3上．

    （1）请你帮忙求出抛物线 y = ax 2 2x + 3的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的；

    （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗，并说明理由；

    （3）你能把结论①或②（选择其中之一）推广到一般情况吗，请用数学语言表述你的成 果，并给予严格的证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．

    （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

    （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是_____．

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    【题目】如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段向终点以/的速度运动，同时动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以、为邻边作设与重叠部分图形的面积为点运动的时间为．

    （1）当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；

    （2）当点落在线段上时，求的值；

    （3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

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    【题目】如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．

    （1）求证：AC与⊙O相切于D点；

    （2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．

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    【题目】如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．

    （1）若所用铁栅栏的长为40米，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围：

    （2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？

    （3）在（2）的条件下，请直接写出当矩形场地的面积大于192平方米时x的取值范围．

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    【题目】（操作发现）

    如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

    （1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

    （2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．

    （问题解决）

    （3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．

    小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

    想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

    想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…

    请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

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