Question

4．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边所在直线都相切，则符合条件的⊙O的半径为1，2，3，6．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求得斜边BC的长，根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解即可．

解答 解：设圆的半径为r，
①如图，当是圆O时，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴斜边AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
则符合条件的⊙O的半径为：r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，
②当是⊙O₁时，⊙0₁的半径为$\frac{5+3+4}{2}$=6，
③当是⊙O₂时，根据切线长定理得：4-r+5=3+r，
解得：r=3，
④当是⊙O₃时，根据切线长定理得：3-r+5=4+r，
解得：r=2，
故答案是：1，2，3，6．

点评 本题考查了直角三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：直角三角形的三边分别是a、b、c，其中c是斜边，则内切圆的半径是$\frac{a+b-c}{2}$．