Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC的垂直平分线EF交AC于O，分别交BC、AD于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求EC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5．

【解析】

（1）根据EF是AC的垂直平分线，四边形ABCD是矩形，可得OA=OC，∠AOF=∠COE=90°，AD∥BC，∠FAO=∠ECO，利用ASA可证，可得四边形AECF是平行四边形，根据EF⊥AC，得到平行四边形AECF是菱形；

（2）根据勾股定理可求菱形的边长．

（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE=90°

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO

在和中

∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE，

∴(ASA)，

∴OF=OE

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形

又∵EF⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形

（2）设EC=x，

∵四边形AECF是菱形，则：AE=CE=x， BE=8-x

在中，由勾股定理得

，

∴

解得：

即EC=5