Question

18．如图，ABCD是校内一块四边形空地，学校在征集对这块空地种花草的设计中选定了如下方案：把这块四边形空地分成九块，种植三种不同品种的花草，其中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，P，Q，R，K分别是EF，FG，GH，HE的中点，现在要在四边形PQRK中种上红色的花，在△PFQ，△QGR，△RHK，△KEP中种上黄色的花，在△HAE，△EBF，△FCG，△GDH中种上紫色的花．已知红，黄，紫三种花的单价分别是8元/m²，10元/m²，12元/m²，而种红花共用去120元，请用学过的数学知识计算种满四边形ABCD这块空地的花需要多少元？

Answer 1

分析 此题上实际上求种植每一种花的面积，利用面积×单价=总价来求每一种花所需的费用即可．利用三角形中位线定理和相似多边形的性质来求其面积．

解答 解：∵红花的单价分别是8元/m²，种红花共用去120元，
∴种红花的面积为：$\frac{120}{8}$=15（m²），
即S_{四边形PQRK}=15m²．
如图，连接AC、BD．
∵点H、G分别是AD、CD的中点，
∴HG是△ADC的中位线，
∴HG∥AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴△DHG∽△DAC，
∴$\frac{{S}_{△DHG}}{{S}_{△DAC}}$=（$\frac{HG}{AC}$）²=$\frac{1}{4}$．
∴S_△DHG=$\frac{1}{4}$S_△DAC．
同理，S_△AHE=$\frac{1}{4}$S_△ABD，S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，S_△CGF=$\frac{1}{4}$S_△CDB，
∴S_△DHG+S_△AHE+S_△BEF+S_△CGF=$\frac{1}{4}$（S_△DAC+S_△ABD+S_△ABC+S_△CDB）=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
∴S_{四边形HEFG}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
同理，S_{四边形PQRK}=$\frac{1}{2}$S_{四边形HEFG}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}=15m²，
∴S_{四边形ABCD}=60m²，S_{四边形HEFG}=30m²，
∴种黄花的面积为：S_{四边形HEFG}-S_{四边形PQRK}=15m²．
种紫花的面积为：$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=30m²．
则总费用为：120+15×10+30×12=630（元）．
答：种满四边形ABCD这块空地的花需要720元．

点评 本题考查了中点四边形．要求学生灵活运用三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，是一道综合题．