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【题目】已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙OBC于点D,在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于点G,交⊙OH

1)求证:AC⊥BH

2)若∠ABC=45°⊙O的直径等于10BD=8,求CE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2

【解析】试题分析:(1)连接AD,由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC∠ADC=90°,再根据直角三角形的性质即可得出结论;

2)由∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°可求出∠BAD=45°,利用勾股定理即可得出DC的长,进而求出BC的长,由已知的一对角线段和公共角,根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似,由相似得比例即可求出CE的长.

试题解析:(1)连接AD

∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC

∴∠DAC=∠EBC

∵AC⊙O的直径,

∴∠ADC=90°

∴∠DCA+∠DAC=90°

∴∠EBC+∠DCA=90°

∴∠BGC=180°-∠EBC+∠DCA=180°-90°=90°

∴AC⊥BH

2∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

∴BD=AD

∵BD=8∴AD=8

在直角三角形ADC中,AD=8AC=10

根据勾股定理得:DC=6,则BC=BD+DC=14

∵∠EBC=∠DEC∠BCE=∠ECD

∴△BCE∽△ECD

,即CE2=BCCD=14×6=84

∴CE==

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A. B.

C. D.

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