Question

7．如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为2．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；
（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程=AB的长，列方程可求得；
（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；
③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP=2AQ列方程可得．

解答 解：（1）根据题意，当x=3时，P、Q位置如下图所示：

此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB-BQ=10-9=1，
∴PQ=AP-AQ=2；
（2）设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10 
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5；
（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，
①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜$\frac{10}{3}$时，有 
x=2（10-3x），
解得 $x=\frac{20}{7}$；   
②当点Q到达点A后，从A到B时，即$\frac{10}{3}$＜x＜$\frac{20}{3}$时，有
x=2（3x-10），
解得 x=4；  
③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即$\frac{20}{3}$＜x＜10时，有
x=2（30-3x），
解得 $x=\frac{60}{7}$；
综上所述：当x=$\frac{20}{7}$或x=4或x=$\frac{60}{7}$时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
故答案为：（1）2．

点评 本题考查了数轴、一元一次方程的应用，解答（3）题，对x分类讨论是解题关键，属中档题．