Question

17．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB=|a-b|；线段AB的中点M表示的数为$\frac{a+b}{2}$．
【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为-40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）运动开始前，A、B两点的距离为60；线段AB的中点M所表示的数为-10．
（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为-5？并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点M表示的数为$\frac{a+b}{2}$代入可得；
（2）根据相遇后，A、B两点所表示的数相同，列方程可求解，再代回可知相遇点表示的数；
（3）根据线段AB的中点表示的数为-5列出方程，解得，将中点M的两个时刻所表示的数比较可知运动方向和速度．

解答 解：（1）根据题意可知，运动开始前，A、B两点的距离AB=|-40-20|=60；
线段AB的中点M所表示的数为：$\frac{-40+20}{2}=-10$；
（2）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，则
点A运动x秒后所在位置的点表示的数为-40+3x；点B运动x秒后所在位置的点表示的数为20-2x；
根据题意，得：-40+3x=20-2x
解得 x=12，
∴它们按上述方式运动，A、B两点经过12秒会相遇，
相遇点所表示的数是：-40+3x=-40+3×12=-4；
答：A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是-4．
（3）根据题意，得：$\frac{（-40+3t）+（20-2t）}{2}=-5$，
解得 t=10，
∵t=0时，中点M表示的数为-10；t=10时，中点M表示的数为-5；
∴中点M的运动方向向右，运动速度为$\frac{-5-（-10）}{10-0}=\frac{1}{2}$．
答：经过10秒，线段AB的中点M表示的数是-5．M点的运动方向向右，运动速度为每秒$\frac{1}{2}$个单位长度．
故答案为：（1）60，-10．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，找出合适的等量关系列出方程，再求解．