如图.已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A.B两点.对称轴为直线x=-32.直线AD交抛物线于点D(2.3)．(1)求抛物线的解析式,(2)已知点M为第三象限内抛物线上的一动点.当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大?并求出最大值,(3)当四边形AMCO面积最大时.过点M作直线平行于y轴.在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心.OQ为半径且与直线BC相切的圆?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知抛物线y=

x²+bx+c与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=-

，直线AD交抛物线于点D（2，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为第三象限内抛物线上的一动点，当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大？并求出最大值；
（3）当四边形AMCO面积最大时，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据解析式求得抛物线与x轴的交点坐标，设点M坐标为（m，

m2+

m-2），连接MO，根据S_{四边形AMCO}=S_△AMO+S_△CMO得出关于m的函数关系式，把函数关系式转化成顶点式即可求得当点M为（-2，-3）时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8；
（3）设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，进而求得F的坐标，得出GF的长，根据勾股定理求得BF的长，设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得出OQ的长，然后根据Rt△BGF∽Rt△QEF对应边成比例得出关于n的方程，解这个方程，即可求得n的值，进而求得Q的坐标；

解答：解：（1）∵抛物线y=

x2+bx+c的对称轴是直线x=-

，
∴x=-

2×

，解得b=

．
∵抛物线y=

x2+bx+c经过D（2，3），
∴3=

×22+2×

+c，解得c=-2．
∴抛物线的解析式为y=

x2+

x-2．

（2）如图①，抛物线的解析式为：y=

x2+

x-2，

令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2）．
令y=0，得x=-4或1，
勾股定理∴A（-4，0）、B（1，0）．
设点M坐标为（m，

m2+

m-2），连接MO．
则S_{四边形AMCO}=S_△AMO+S_△CMO
=

×4×(-

m2-

m+2)+

×1×(-m)
=-（m+2）²+8
∴当m=-2时，

m2+

m-2=-3
∴当点M为（-2，-3）时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8．　　　

（3）如图②，假设存在这样的⊙Q．
设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，

将B（1，0）、C（0，-2）代入得：

k+b=0

b=-2

，解得：k=2，b=-2，
∴直线BC解析式为：y=2x-2，
令x=-2，得y=-6，
∴F（-2，-6），GF=6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=

BG2+GF2

，
设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得：OQ=

OG2+QG2

4+n2

．
设⊙Q与直线BC相切于点E，则QE=OQ=

4+n2

．
在Rt△BGF与Rt△QEF中，
∵∠BGF=∠QEF=90°，∠BFG=∠QFE，
∴Rt△BGF∽Rt△QEF．
∴

，即

6+n

n2+4

．
化简得：n²-3n-4=0，解得n=4或n=-1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理的应用，四边形的面积的求法等知识点．试题有一定的难度，需要仔细分析，认真计算．

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