Question

4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ABD≌△OBC；
（2）若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O的切线，根据切线性质得到∠CBO=90°，进而得到这两个角相等，又AD∥CO，根据两直线平行，得到一对同位角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证；
（2）根据勾股定理求得OC=$\sqrt{3}$，由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OB}{OC}$，即AD=$\frac{AB•OB}{OC}$，求出AD的长．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=∠90°，
∵AD∥CO，
∴∠A=∠COB，
在△ABD和△OBC中
∵∠ADB=∠OBC，∠A=∠COB，
∴△ABD∽△OCB；
（2）由（1）知，△ABD∽△OCB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OB}{OC}$，即AD=$\frac{AB•OB}{OC}$，
∵AB=2，BC=$\sqrt{2}$，
∴OB=1，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{2×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．对于第一问这样的几何证明题，要求学生多观察，多分析，根据题意选择合适的判定方法；第二问的突破点在于利用勾股定理表示出OC，借助第一问的相似得比例．