【题目】如图,在正方形ABCD和直角中,B、C、F三点共线,,,,连接AE,AF,若,则________
【答案】
【解析】
连接AC,如图,先证点D,C,E三点共线,由三角形的外角性质和已知条件可得∠CAF=∠AEC,∠CAE=∠AFC,于是可证△ACF∽△EAC,然后根据相似三角形的性质可求得AC的长,而,进而可得答案.
解:如图,连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=AB,∠ACD=45°=∠ACB,∠BCD=90°,
∵∠ECF=90°,∠BCD=90°=∠DCF,
∴∠BCE=90°,
∴∠BCD+∠BCE=180°,
∴点D,C,E三点共线,
∵∠ACD=∠CAE+∠AEC=45°,∠ACB=∠CAF+∠AFC=45°,∠EAF=∠CAF+∠CAE=45°,
∴∠CAF=∠AEC,∠CAE=∠AFC,
∴△ACF∽△EAC,
∴,
∴AC2=ECCF=12,
∴AC=2,
∴AB=.
故答案为:.
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【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,点(0,1),点(1,0),正方形的两条对角线的交点为,延长至点,使.延长至点,使,以,为邻边做正方形.
(Ⅰ)如图①,求的长及的值;
(Ⅱ)如图②,正方形固定,将正方形绕点逆时针旋转,得正方形,记旋转角为(0°<<360°),连接.
①旋转过程中,当90°时,求的大小;
②在旋转过程中,求的长取最大值时,点的坐标及此时的大小(直接写出结果即可).
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点H为边BC的中点,点G为线段DH上一点,且∠BGC=90°,延长BG交CD于点E,延长CG交AD于点F,当CD=4,DE=1时,则DF的长为( )
A.2B.C.D.
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【题目】已知OA是⊙O的半径,OA=1,点P是OA上一动点,过P作弦BC⊥OA,连接AB、AC.
(1)如图1,若P为OA中点,则AC=______,∠ACB=_______°;
(2)如图2,若移动点P,使AB、CO的延长线交于点D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.△AOD的面积为S3,且满足,求的值.
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【题目】如图,抛物线交x轴于,两点,交y轴于点C,过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式;
(2)连AC,将直线AC以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动,设运动时间为1秒,直线AC扫过梯形OCDB的面积为S,直接写出S与t的函数关系式;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将沿CP翻折,点Q的对应点为.是否存在点P,使恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】黄金三角形就是一个等腰三角形,且其底与腰的长度比为黄金比值.如图1,在黄金中,,点是上的一动点,过点作交于点.
当点是线段的中点时, ;当点是线段的三等分点时, ;
把绕点逆时针旋转到如图2所示位置,连接,判断的值是否变化,并给出证明;
把绕点在平面内自由旋转,若请直接写出线段的长的取值范围.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c是常数)交于A、B两点,点A在x轴上,点B在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点(不与点A、B重合),
①如图2,若点P在直线AB上方,连接OP交AB于点D,求的最大值;
②如图3,若点P在x轴的上方,连接PC,以PC为边作正方形CPEF,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点E或F恰好落在y轴上,直接写出对应的点P的坐标.
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【题目】经销商购进某种商品,当购进量在20千克~50千克之间(含20千克和50千克)时,每千克进价是5元;当购进量超过50千克时,每千克进价是4元.此种商品的日销售量y(千克)受销售价x(元/千克)的影响较大,该经销商试销一周后获得如下数据:
x(元/千克) | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 |
y(千克) | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 |
解答下列问题:
(1)求出y关于x的一次函数表达式:
(2)若每天购进的商品能够全部销售完,且当日销售价不变,日销售利润为w元,那么销售价定为多少时,该经销商销售此种商品的当日利润最大?最大利润为多少元?此时购进量应为多少千克?(注:当日利润=(销售价-进货价)×日销售量).
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