[题目]已知:在平面直角坐标系中.抛物线()交x轴于A.B两点.交y轴于点C.且对称轴为直线x=-2 .(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标,(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点.请进行如下探究:探究一:如图1.设△PAD的面积为S.令W＝t·S.当0＜t＜4时.W是否有最大值?如果有.求出W的最大值和此时t的值,如果没有.说明理由,探究二:如图2.是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2 .

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）， D（-2，4）．

（2）①当t=3时，W有最大值，W最大值=18．②存在．只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时。

解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．

∴D（-2，4）．

（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，

则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP

=12-2t
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+18
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，

∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，

∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，

此时

又因为∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，

∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．

③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径

圆心O1到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．

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