Question

5．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB=30°，点P₁、P₂分别在OA、OB上，求作点P₁、P₂，使△PP₁P₂的周长最小，连接OP，若OP=10cm，求△PP₁P₂的周长．

Answer 1

分析 分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点P₁、P₂，连接OM、ON、PP₁、PP₂，根据轴对称的性质可得∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP，PP₁=P₁M，PP₂=P₂N，MO=PO=NO，从而求出△OMN是等边三角形△PP₁P₂的周长等于MN，从而得解．

解答 解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点P₁、P₂，连接OM、ON、PP₁、PP₂，此时△PP₁P₂的周长最小，△PP₁P₂的周长=P₁P₂，PP₁+P₁P₂+PP₂=MP₁+P₁P₂+NP₂=MN，
∵M、N分别是P关于OA、OB的对称点，
∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP，PP₁=P₁M，PP₂=P₂N，MO=PO=NO，
∴∠MON=∠MOA+∠AOP+∠NOB+∠BOP=2∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠MON=2×30°=60°，
∴△OMN是等边三角形，
又∵△PP₁P₂的周长=P₁P₂，PP₁+P₁P₂+PP₂=MP₁+P₁P₂+NP₂=MN，
∴△MNP的周长=MN=MO=PO=10cm．

点评 本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键．