Question

17．等边△ABC中，BD=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{1}{3}$AC，求证：DE⊥AC．

Answer 1

分析 首先过点B作BF⊥AC交AC于点F，根据BF⊥AC，△ABC是等边三角形，可得点F是AC的中点；然后判断出$\frac{CE}{CF}=\frac{CD}{BC}$，即可推得DE∥BF，再根据BF⊥AC，推得DE⊥AC即可．

解答 证明：如图1，过点B作BF⊥AC交AC于点F，
，
∵BF⊥AC，△ABC是等边三角形，
∴点F是AC的中点，
∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴CD=$\frac{2}{3}$BC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$；
∵CE=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$，
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{CD}{BC}$，
∴DE∥BF，
又∵BF⊥AC，
∴DE⊥AC．

点评 此题还考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的内角都相等，且为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合．③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高或所对角的平分线所在的直线．