Question

12．已知，如图，在△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论：①$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BE}$，②$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AD}{BE}$，③$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，④AB=2DE．其中正确的有（填序号）①③④．

Answer 1

分析 利用三角形面积以及锐角三角函数关系和三角形中位线定理分别分析得出即可．

解答 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴$\frac{1}{2}$BE•AC=$\frac{1}{2}$AD•BC，
∴BE•AC=AD•BC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BE}$，
故①正确；
无法得出AE•BE=AD•BD，故②错误；
∵∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，故③正确；
由AD⊥BC，BE⊥AC可得∠CEB=∠CDA=90°，∠C=∠C，
所以△CAD∽△CBE，
则$\frac{CE}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$
所以△CDE∽△CAB，
所以$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，
又因为∠C=60°，
所以CE：CB=1：2，
所以AB=2DE，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 此题主要考查了三角形面积以及锐角三角函数关系和三角形中位线定理等知识，正确利用比例式的性质是解题关键．