Question

7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠ABC=60°，CD=3$\sqrt{3}$，AD=16，点P是AD边上的一动点．
（1）若tan∠PCB=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求AP的长；
（2）如图2，若∠CPB=120°，
①△PCB与△ABP相似吗？为什么？
②求AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC，得到∠DPC=∠PCB，根据正切的概念求出DP的长，根据AP=AD-PD求出AP的长；
（2）①根据AD∥BC，得到∠APB=∠PBC，又∠A=∠CPB=120°，根据两组对应角相等的两个三角形相似得到答案；
②过B作BE⊥DA于E，根据直角三角形的性质求出AE的长，得到BC的长，设PA=x，由△PCB∽△ABP，用x表示出PB²，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∴∠DPC=∠PCB，
∴tan∠DPC=$\frac{CD}{DP}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，又CD=3$\sqrt{3}$，
∴DP=4，
∴AP=AD-PD=12；
（2）①相似．
理由：∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠APB=∠PBC，∠A=120°，
∴∠A=∠CPB=120°，
∴△PCB∽△ABP；
②如图2，过B作BE⊥DA于E，
∵∠ABE=30°，BE=CD=3$\sqrt{3}$，
∴AE=3，则BC=19，
设PA=x，
由△PCB∽△ABP，得PB²=PA•BC=19x，
则在△PBE中由勾股定理得：${（x+3）^2}+{（3\sqrt{3}）^2}=19x$，
解得：x₁=4，x₂=9，
则AP的长为4或9．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用锐角三角函数的概念和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．