Question

16．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=5，AC=3，CE平分∠ACD，求BE的长；
（2）小明完成（1）后，联想到如下问题：已知一个角的两边是a和b，顶点在矩形图纸外面（如图2），请用直尺和圆规在矩形图纸内作出这个角的平分线．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注．作图过程中如果要突破矩形图纸限制，可适当延伸，但不得使a、b相交．）
爱动脑筋的你一起来完成这个作图吧！

Answer 1

分析 （1）作EM⊥AC交AC于点M，利用勾股定理求出BC，再利用△ACD∽△ABC，得出$\frac{EM}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，可解得AD的值，由角平分线定理可得EM=DE，联立可解出AE的值，利用BE=AB-AE即可求解，
（2）延长两边分别作两组角的平分线，连接平分线的两个交点所在的线就是这个角的平分线．

解答 解：（1）如图1，作EM⊥AC交AC于点M，
 
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{3}$=$\frac{3}{5}$，解得AD=$\frac{9}{5}$，
∵∠ABC=∠AEM，
∴$\frac{EM}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，即$\frac{EM}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE平分∠ACD，CD⊥AB，EM⊥AC，
∴EM=DE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{4}{5}$且DE+AE=$\frac{9}{5}$，解得DE=$\frac{4}{5}$，AE=1，
∴BE=AB-AE=5-1=4．
（2）如图2，延长两边分别作两组角的平分线，连接平分线的两个交点所在的线就是这个角的平分线．

点评 本题主要考查了作图，角平分线的性质及勾股定理，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．