Question

8．已知c≤b≤a，且a+b+c=10，abc-23a=40，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

分析 首先利用根与系数的关系得出得出b，c是关于x的一元二次方程x²-（10-a）x+（23+$\frac{40}{a}$）=0的两个根，进而得出a的取值范围，再求出|a|+|b|+|c|的最小值．

解答 解：由题意可得：a＞0，b+c=10-a，且bc=23+$\frac{40}{a}$，
所以b，c是关于x的一元二次方程x²-（10-a）x+（23+$\frac{40}{a}$）=0的两个根．
故△=（10-a）²-4（23+$\frac{40}{a}$）≥0，
a³-20a²+8a-160≥0，
即（a²+8）（a-20）≥0，
所以a≥20．
于是b+c=10-a≤-10，|b+c|≥10，从而|b|+|c|≥|b+c|≥10，
故|a|+|b|+|c|≥30，
当a=20，b=-5，c=-5时，等号成立，
即|a|+|b|+|c|的最小值为30．

点评 此题主要考查了绝对值函数的最值，得出a的取值范围是解题关键．