Question

3．如图①，点C在以O为圆心，以AB为半径的圆弧上从A点开始以a度/秒的速度逆时针运动到点D，OD⊥AB．在此运动过程中，△BOC的面积S与运动时间t（秒）之间的函数图象（非抛物线）如图②所示，根据函数图象回答下列问题：
（1）填空：a=30，b=3；
（2）当t=5时，求∠ABC的度数及扇形OBC的面积；
（3）当t为何值时，△BOC的面积为4．

Answer 1

分析 （1）当 CO⊥AB时，面积最大，当C点与A，B重合时面积最小，CO两次垂直于AB，第一次时，∠AOC=90°，第二次时，∠AOC=270°，结合图象，易得出结论；
（2）由（1）得∠ABC，由圆周角定理可得∠ABC，∠BOC，结合图象易得R，利用扇形的面积公式得出结论；
（3）若△BOC的面积为4，则以BO为底的高为2，易得∠AOC=30°，150°或210°时，解得t．

解答 解：（1）由题意得：当∠AOC=90°时，第一次面积最大；当∠AOC=180°时，面积最小，
当∠AOC=270°时，面积第二次最大，
∴a=$\frac{270°}{9}$=30°，b=$\frac{9}{3}=3$，
故答案为：30，3；

（2）当t=5时，∠AOC=30t=150°，
∴$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=75°$，
∴∠BOC=30°，
设⊙O的半径为R，则$\frac{1}{2}$R²=8，
∴R=4，
∴S_扇形OBC=$\frac{30π{•4}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π；

（3）作CE⊥AB于E，当$\frac{1}{2}$OB•CE=4时，即$\frac{1}{2}×4CE$=4，
∴CE=2，
在Rt△OCE中，sin∠COE=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COE=30°，
如图①∠AOC=30°，t=30÷30=1（秒）；
如图②∠AOC=150°，t=150÷30=5（秒）；
如图③∠AOC=210°，t=210÷30=7（秒）；
∴当t为1秒，5秒，7秒时，△BOC的面积为4．

点评 本题主要考查圆周角定理，结合图象解决动点问题，正确识图，分清界点结合图象是解答此题的关键．