Question

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P与Q的坐标分别为（2，4-2$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 首先根据点Q在OB：y=x上，以及QO=OC=2，求出点Q的坐标是多少；然后设点P的坐标是（2，a），确定出CP所在的直线的解析式，再根据点Q在CP上，求出a的值，即可求出点P的坐标是多少．

解答 解：∵点Q在OB：y=x上，QO=OC=2，
∴点Q的坐标是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设P点的坐标是（2，a），
∵点C的坐标是（0，2）
∴CP所在的直线的解析式是：y=kx+2，
则k=（a-2）÷（2-0）=0.5a-1，
∴CP所在的直线的解析式是：y=（0.5a-1）x+2，
∵点Q（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在y=（0.5a-1）x+2上，
∴（0.5a-1）×$\sqrt{2}$+2=$\sqrt{2}$
则a=4-2$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（2，4-2$\sqrt{2}$），
∴点P与Q的坐标分别为（2，4-2$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．
故答案为：（2，4-2$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．

点评 （1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（2）此题还考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
（3）此题还考查了待定系数法求一次函数解析式的方法，要熟练掌握．