Question

17．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=-$\frac{3}{4}$x沿y轴向上平移6个单位后，分别与x轴、y轴相交于A，B两点．
（1）直线AB的函数关系式：y=-$\frac{3}{4}$x+6，点A的坐标：（8，0）．
（2）尺规作图：作∠ABO的角平分线BM，交x轴与点C（保留画图痕迹，不写作法）．
（3）求线段AB的长．
（4）射线BM上有一点P，设点P到直线AB的距离为d，当d的值等于点P到x轴距离的2倍时，求d的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象向上平移6个单位长度，则常数项增大6，即可求得函数解析式，然后在解析式中令y=0，求得x，即可求得A的坐标；
（2）利用尺轨作图即可解答；
（3）首先求得B的坐标，则在直角△OAB中利用勾股定理即可求解；
（4）首先求得点C的坐标，得到直线BM的解析式，若P到BM的距离等于到y轴的距离，即P的横坐标，点P到x轴的距离就是P的纵坐标的绝对值，根据d的值等于点P到x轴距离的2倍即可列方程求解．

解答 解：（1）直线y=-$\frac{3}{4}$x沿y轴向上平移6个单位后函数的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+6，
令y=0，则-$\frac{3}{4}x$+6=0，解得：x=8，则A的坐标是（8，0）；
（2）如图：
，
射线BM就是所求的射线；
（3）在y=-$\frac{3}{4}$x+6中，令x=0，则y=6，则B的坐标是（0，6），
则OA=8，OB=6，
则AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
（4）设OC=x，则S△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$OB•x+$\frac{1}{2}$AB•x，
则6×8=6x+10x，
解得：x=3，
则C的坐标是（3，0），
设BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
则射线BM的解析式是y=-2x+6（x≥0），
点P到直线AB的距离为d，则P的横坐标是d，设P的坐标是（p，-2d+6）．
当P在第一象限时，即-2d+6＞0时，d＜3．
∵d的值等于点P到x轴距离的2倍，
∴2=2（-2d+6），
解得：d=4；
当P在第四象限或在x轴上时，即-2d+6≤0，解得：p、d≥3．
∵d的值等于点P到x轴距离的2倍，
∴d=2（6-2d），
解得：d=2.4．
总之，d=2.4或d=4．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及角的平分线的性质，角平分线上一点到角的两边距离相等，求C的坐标是关键．