Question

6．在求1+7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶+7⁷+7⁸+7⁹的值时，小林发现，从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的7倍，于是她设：
S=1+7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶+7⁷+7⁸+7⁹…①
然后在①式的两边都乘以7，得：
7S=7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶+7⁷+7⁸+7⁹+7¹⁰…②
②-①得7S-S=7¹⁰-1，所以S=$\frac{{7}^{10}-1}{6}$，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“7”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸+a⁹+…+a²⁰¹⁴的值？你的答案是$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$．

Answer 1

分析 仿照阅读材料中的方法，把已知等式两边乘以a，与原式相减即可求出原式的值．

解答 解：设S=1+a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸+a⁹+…+a²⁰¹⁴①，
aS=a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸+a⁹+…+a²⁰¹⁵②，
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁵-1，
则S=$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$，
故答案为：$\frac{{a}^{2015}-1}{a-1}$

点评 此题考查了整式的混合运算，弄清材料中的解题方法是解本题的关键．