Question

2．现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B'放在另一块三角板ABC斜边AB的中点处，并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转．
（1）当两块三角板相对位置如图①，即AC与A′B′交于点D，BC与B′C′交于点E时，求证：△AB′D∽△BEB′：
（2）当两块三角板相对位置如图②，即AC边的延长线与A′B′交于点D，BC与B′C′交于点E时，△AB′D与△BEB′还相似吗？（直接给出结论．不需证明）
（3）在图②中，连结DE，试探究△AB′D与△B′ED是否相似，并说明理由或给出证明．
（4）在图①中，若△ABC改为角C等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′=15°时，仍有△AB′D∽△BEB′．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知∠A=∠B=45°，然后根据∠ADB′+∠A=∠A′B′C′+∠EB′B，从而可证明：∠ADB′=∠EB′B，从而可证明两三角形相似；
（2）根据（1）的思路证明：∠A=∠B，∠ADB′=∠EB′B，从而可证明两三角形相似；
（3）由（2）可知△AB′D∽△BEB′，根据相似三角形的性质可知$\frac{AD}{BB′}=\frac{B′D}{EB′}$，因为BB′=AB′，从而可得到$\frac{AD}{AB′}=\frac{B′D}{B′E}$，又因为∠A=∠A′B′C′=45°，从而可证明△AB′D∽△B′ED；
（4）当∠A′B′C′=15°时，可证明∠ADB′=∠EB′B，∠A=∠B，从而可证明两三角形相似．

解答 证明：（1）由等腰直角三角形的性质可知：∠A=∠B=∠A′B′C′=45°，
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-45°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-45°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．
（2）相似．
如下图：

理由：由等腰直角三角形的性质可知：∠A=∠B=∠A′B′C′=45°，
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-45°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-45°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．
（3）由（2）可知
∴△AB′D∽△BEB′，
∴$\frac{AD}{BB′}=\frac{B′D}{EB′}$，
又∵BB′=AB′，
∴$\frac{AD}{AB′}=\frac{B′D}{B′E}$，
又∵∠A=∠A′B′C′=45°．
∴△AB′D∽△B′ED．
（4）当∠A′B′C′=15°时，△AB′D∽△BEB′．
理由：∵∠C=150°，AC=BC，
∴∠A=∠B=15°．
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-15°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-15°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，利用三角形外角的性质和等腰三角形的性质证得∠ADB′=∠EB′B是解题的关键．