【题目】如图,在中,,,,以点为圆心,以为半径作优弧,交于点,交于点.点在优弧上从点开始移动,到达点时停止,连接.
(1)当时,判断与优弧的位置关系,并加以证明;
(2)当时,求点在优弧上移动的路线长及线段的长.
(3)连接,设的面积为,直接写出的取值范围.
备用图
【答案】(1)AM与优弧的相切(2)或(3)
【解析】
(1)根据勾股定理的得到∠AMO=90°即可得到与优弧的相切;
(2)根据题意分 在直线的左侧和右侧两种情况讨论,用三角函数及相似三角形的性质进行求解;(3)根据题意作过点作于点,交于点此时的面积最大,过点作于点,即点与点重合,此时的面积最小,分别求出最大值与最小值即可求解.
在中,,, .
(1)与优弧的相切;
如图1,当时,,且
为直角三角形,,
点在上,与优弧的相切.
(2)当时,第一种情况:如图 2所示, 在直线的左侧;
过点作于点
在中,
,,
在中,据勾股定理可知.
第二种情况:如图 3所示,在直线的右侧;连接
,
在中,据勾股定理得:
由可知.
(3)如图4,过点作于点,交于点此时的面积最大
在中,,
在中
如图5,过点作于点,即点与点重合,此时的面积最小
在中
.
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【题目】延迟开学期间,学校为了全面分析学生的网课学习情况,进行了一次抽样调查(把学习情况分为三个层次,:能主动完成老师布置的作业并合理安排课外时间自主学习;:只完成老师布置的作业;:不能完成老师布置的作业),并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了__________名学生;
(2)将条形图补充完整;
(3)图2中所占的圆心角的度数为__________度;
(4)如果学校开学后对层次的学生进行奖励,根据抽样调查结果,请你估计该校1600名学生中大约有多少名学生能获得奖励?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,∠DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是________.
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【题目】某公司计划投资、两种产品,若只投资产品,所获得利润(万元)与投资金额(万元)之间的关系如图所示,若只投资产品,所获得利润(万元)与投资金额(万元)的函数关系式为.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元,求的值;
(3)该公司筹集万元资金,同时投资、两种产品,设投资产品的资金为万元,所获得的总利润记作万元,若时,随的增大而减少,求的取值范围.
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【题目】为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看次的人数没有标出).
根据上述信息,解答下列各题:
×
(1)该班级女生人数是__________,女生收看“两会”新闻次数的中位数是________;
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低,试求该班级男生人数;
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如表).
统计量 | 平均数(次) | 中位数(次) | 众数(次) | 方差 | … |
该班级男生 | … |
根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
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【题目】如图,在下列8×8的网格中,横、纵坐标均为整点的数叫做格点,△ABC的顶点的坐标分别为A(3,0)、B(0,4)、C(4,2).
(1)直接写出△ABC的形状;
(2)要求在下图中仅用无刻度的直尺作图:将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1,其中α=∠ABC,A、C的对应点分别为A1、C1,请你完成作图;
(3)在网格中找一个格点G,使得C1G⊥AB,并直接写出G点的坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为______.
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【题目】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
(3)在(2)的条件下,BP=2,CQ=9,则BC的长为_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线C1:y=x2+6x+2的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2,直线l:y=kx+b经过M,N两点.
(1)求点M的坐标,并结合图象直接写出不等式x2+6x+2<kx+b的解集;
(2)若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式;
(3)若抛物线C1与x轴的交点为E、F,试问四边形EMBD是何种特殊四边形?并说明其理由.
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