Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，如图1，使它的斜边与BD交于点H，一条直角边与CD交于点G．

（1）请适当添加辅助线，通过三角形相似，求出 的值；
（2）连接GH，判断GH与AF的位置关系，并证明；
（3）如图2，将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时，若AD=3 ，AF=5 ．求DG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠ABD=∠ACD=45°，cos∠BAC=cos45°= ，

又∵△AEF是等腰直角三角形，

∴∠EAF=45°，

∴∠BAH+∠FAC=∠FAC+∠EAC=45°，

∴∠BAH=∠EAC，

∴△BAH∽△ACG，

∴ = = ；

（2）

解：GH⊥AF，理由如下：

∵在Rt△AEF中，cos∠EAF=cos45°= = ，

∴ = = ，

又∵∠HAG=∠EAF

∴△HAG∽△EAF，

∴∠AHG=∠E=90°，

∴GH⊥AF；

（3）

解：∵在Rt△AGH中，sin∠GAH=sin45°= = ，

∴AG= GH，

又∵∠ADG=∠E=90°，∠AGD=∠FGE，

∴△AGD∽△FGE，

∴ = = ，

又∵在Rt△AEF中，AF=5 ，

∴EF=5，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

∴可设GH为3x，则GF=5x，FH= =4x，

∴AF=AH+FH=3x+4x=5 ，

∴x= ，

∴AG= GH= ×3× = ，

∴GE=AE﹣AG=5﹣ = ，

又∵ = = ，

∴ = ，

∴DG= ．

【解析】（1）连接AC，根据正方形的性质的∠BAC=∠ABP=∠ABP=45°，cos∠BAC=cos45°= ，根据等腰直角三角形的性质得到∠EAF=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到 = = ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义得到AG= GH，根据相似三角形的性质得到 = = ，设GH为3x，则GF=5x，根据勾股定理得到FH= =4x，得到AG= GH= ×3× = ，于是得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．