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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.

(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;

(2)判断ABC的形状,并说明理由;

(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标;

(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NMAC,交AB于点M,当AMN面积最大时,求此时点N的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)ABC是直角三角形.(3)点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).

【解析】

试题分析:(1)根据待定系数法即可求得;

(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得ABC是直角三角形.

(3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标;

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据SAMN=SABN﹣SBMN

得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.

解:(1)二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),

解得

抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;

(2)ABC是直角三角形.

令y=0,则﹣x2+x+4=0,

解得x1=8,x2=﹣2,

点B的坐标为(﹣2,0),

由已知可得,

在RtABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在RtAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,

BC=OB+OC=2+8=10

ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形.

(3)A(0,4),C(8,0),

AC==4

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4,0)

③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),

综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,

MDOA

∴△BMD∽△BAO

=

MNAC

=

=

OA=4,BC=10,BN=n+2

MD=(n+2),

SAMN=SABN﹣SBMN

=BNOA﹣BNMD

=(n+2)×4﹣×(n+2)2

=﹣(n﹣3)2+5,

AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).

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B

C

D

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时间t(分钟)

t<40

40t<60

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80t<100

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人数

12

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12

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