Question

17．已知：如图，AC⊥BF于C，BE⊥BF于B，AC=BC，AF=CE，求证：EC⊥AF．

Answer 1

分析 延长EC交AF于点D，证明Rt△EBC≌Rt△FCA，得到∠BCE=∠FAC，再证明∠DCF+∠AFC=90°，得到∠CDF=180°-（∠DCF+∠AFC）=90°，所以EC⊥AF．

解答 解：如图，延长EC交AF于点D．

∵AC⊥BF于C，BE⊥BF于B，
∴∠EBC=∠FCA=90°，
在Rt△EBC和Rt△FCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{EC=FA}\end{array}\right.$
∴Rt△EBC≌Rt△FCA，
∴∠BCE=∠FAC，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠FAC=∠DCF，
∵∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DCF+∠AFC=90°，
∴∠CDF=180°-（∠DCF+∠AFC）=90°，
∴EC⊥AF．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt△EBC≌Rt△FCA．