Question

【题目】如图，经过点A（0，﹣2）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，D为第四象限内抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点D作y轴的平行线交AC于点E，若AD=AE，求点D的坐标；

（3）连接BD交AC于点F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）（2，﹣3）；（3）．

【解析】试题分析：

（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中列方程组解得b、c的值即可得到二次函数的解析式；

（2）如图1，过点A作AH⊥DE于点H，由（1）中所得二次函数的解析式可求得点C的坐标，再由A、C坐标可求得直线AC的解析式，设出点D的坐标，则可表达出点E的坐标，由已知条件易得EH=DH，从而可列出方程求得点D的坐标；

（3）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，连接AB，先由已知条件易证△DGE∽△COA，结合（2）可得：DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）；再利用勾股定理逆定理证∠BAC=90°，从而可证△DGF∽△BAF，由此可得： =﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+，即可得到： 的最大值.

试题解析：

（1）∵点A（0，﹣2）和点B（﹣1，0）均在抛物线上，

∴有，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

（2）过点A作AH⊥DE，垂足为H，如图1．

在y=x2﹣x﹣2中，令y=0得，x=﹣1或x=4，

∴点C坐标为（4，0）．

∵点A坐标为（0，﹣2），

∴直线AC的解析式为y=x﹣2．

设点D坐标为（m， m2﹣m﹣2），

则点E坐标为（m， m﹣2），点H坐标为（m，﹣2）．

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，即﹣2﹣（m2﹣m﹣2）=m﹣2﹣（﹣2），

解得m1=2，m2=0（不合题意，舍去）．

此时， m2﹣m﹣2=﹣3，

∴点D的坐标为（2，﹣3）．

（3）过点D作DG⊥AC，垂足为G，连接AB，DE交x轴于点P，如图2．

由（2）得，DE=﹣m2+2m．

∵点A（0，﹣2），点B（﹣1，0），点O（0，0），点C（4，0），

∴AB=，AC=2，BC=5，OC=4，OA=2．

∵DE∥y轴，DG⊥AC，

∴∠DGE=∠CPE=90°，

∵∠DEG=∠CEP（对顶角），

∴∠EDG=∠ECP=∠ACO．

又∵∠DGE=∠COA=90°，

∴△DGE∽△COA，

∴，

∴DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）．

∵AB=，AC=2，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

又∵∠DFG=∠BFA，

∴△DGF∽△BAF．

∴=﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+．

∴的最大值为．