Question

【题目】平面直角坐标系中，A（0，4），点P从原点O开始向x轴正方向运动，设P点横坐标为m，以点P为圆心，PO为半径作⊙P交x 轴另一点为C，过点A作⊙P的切线交 x轴于点B，切点为Q．

（1）如图1，当B点坐标为（3，0）时，求m；

（2）如图2，当△PQB为等腰三角形时，求m；

（3）如图3，连接AP，作PE⊥AP交AB于点E，连接CE，求证：CE是⊙P的切线；

（4）若在x轴上存在点M（8，0），在点P整个运动过程中，求MQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m=（2）m=4﹣4（3）证明见解析（4）4﹣4

【解析】试题分析： 如图1中，由 由此即可解决问题．
（2）如图2中，设 则 列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，连接PQ.只要证明 推出 由此即可证明．
（4）以为圆心为半径画圆交于点，此时最小（两点之间线段最短），设 在中，根据 列出方程即可解决问题．

试题解析：(1)如图1中，连接PQ.

∵OP⊥OA，

∴AO是P切线，∵AQ是P切线，

∴AO=AQ=4，

∵OA=4，0B=3，

∴BQ=ABAQ=1，

(2)如图2中，连接PQ.

∵△PQB是等腰直角三角形，

∴OP=PQ=BQ,设OP=PQ=BQ=x,则

则有

(3)如图3中，连接PQ.

AQ是切线，

∴∠EPQ=∠PAQ，

∴∠EPC=∠PAO，

∵AO、AQ是切线，

∴∠PAO=∠PAQ，

∴∠EPC=∠EPQ，

在△EPC和△EPQ中，

∴EC是的切线.

(4)如图4中，

以A为圆心OA为半径画圆交AM于点Q,此时MQ最小(两点之间线段最短)，

设QM=x，

在中,

解得或 (舍弃)，

∴MQ的最小值为.