Question

【题目】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图2，取的中点，连接，证明．从而得到．请你参考小明的方法解决下列问题．

（1）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立；

（2）如图4，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）正确，见解析；（2）正确，见解析

【解析】

（1）在AB上取点，连接，证明△PAE≌△CEF即可；

（2）延长BA至，使=CE，连接，证明△ANE≌△ECF即可．

解：（1）正确．

证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．

四边形是正方形，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°，

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N．

使AN=CE，连接NE．

∴BN=BE，

∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠FCE=45°，

∴∠N=∠ECF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

∴∠NAE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF．