Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．
求证：AC-AB=2BE．

Answer 1

证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1
同理，∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE
分析：延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，∴AC-AB=AC-AM=CM．
再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证．
点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．