Question

【题目】有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 ；
第二个数是 ；
第三个数是 ；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于 ．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么 ， ， ，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于 ”；
（3）设M表示 ， ， ，…， ，这2016个数的和，即 ，
求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知第5个数a= = ﹣

（2）

解：∵第n个数为 ，第（n+1）个数为 ，

∴ + = （ + ）

= ×

= ×

= ，

即第n个数与第（n+1）个数的和等于

（3）

解：∵1﹣ = ＜ =1，

= ＜ ＜ =1﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

…

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

∴1﹣ ＜ + + +…+ + ＜2﹣ ，

即 ＜ + + +…+ + ＜ ，

∴

【解析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；（3）将每个分式根据 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，展开后再全部相加可得结论． 本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律 = ﹣ 得到 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ 是解题的关键．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用分式的混合运算和数与式的规律的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握运算的顺序:第一级运算是加法和减法;第二级运算是乘法和除法;第三级运算是乘方.如果一个式子里含有几级运算,那么先做第三级运算,再作第二级运算,最后再做第一级运算;如果有括号先做括号里面的运算.如顺口溜:"先三后二再做一,有了括号先做里."当有多层括号时,先算括号内的运算,从里向外{[(?)]}；先从图形上寻找规律，然后验证规律，应用规律，即数形结合寻找规律．