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【题目】如图,抛物线yx2+bx+cx轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B的坐标为(30),点C的坐标为(0,﹣5).有一宽度为1,长度足够长的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q,交直线AC于点M和点N,交x轴于点E和点F

1)求抛物线的解析式及点A的坐标;

2)当点MN都在线段AC上时,连接MF,如果sinAMF,求点Q的坐标;

3)在矩形的平移过程中,是否存在以点PQMN为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2+x5A(﹣50);(2Q坐标(﹣4,﹣);(3)存在,点M的坐标为(﹣2,﹣3)或(﹣2+,﹣3)或(﹣2,﹣3+).

【解析】

1)将点B的坐标、点C的坐标分别代入函数解析式求得bc的值,结合抛物线解析式求得点A的坐标;

2)作FGACG,设点F坐标(m0),根据sinAMF=,列出方程即可解决问题.

3))①当MN是对角线时,设点Fm0),由QN=PM,列出方程即可解决问题.②当MN为边时,设点Qmm2+m-5)则点Pm+1m2+m-6),代入抛物线解析式,解方程即可.

1)∵抛物线上的点B的坐标为(30),点C的坐标为(0,﹣5

∴将其代入y═x2+bx+c,得

解得bc=﹣5

∴抛物线的解析式为yx2+x5

y=0可得x=3-5

∴点A的坐标是(﹣50).

2)作FGACG,设点F坐标(m0),

AFm+5AEEMm+6FGm+5),FM

sinAMF

整理得到2m2+19m+440

∴(m+4)(2m+11)=0

m=﹣4或﹣5.5(舍弃),

∴点Q坐标(﹣4,﹣).

3)①当MN是对角线时,点My轴的右侧,设点Fm0),

∵直线AC解析式为y=﹣x5

∴点Nm,﹣m5),点Mm+1,﹣m6),

QNPM

∴﹣m5﹣(m2+m5)=[m+12+m+1)﹣5]﹣(﹣m6),

解得m=﹣3+或﹣3(舍弃),

此时M(﹣2+,﹣3),

MN是对角线时,点N在点A的左侧时,设点Fm0).

∴(m2+m5)﹣(﹣m5)=(﹣m6)﹣[m+12+m+1)﹣5]

解得m=﹣3或﹣3+(舍弃),

此时M(﹣2,﹣3+);

②当MN为边时,设点Qmm2+m5)则点Pm+1m2+m6),

NQPM

m2+m6m+12+m+1)﹣5

解得m=﹣3

∴点M坐标(﹣2,﹣3),

综上所述,以点PQMN为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为(﹣2,﹣3)或(﹣2+,﹣3)或(﹣2,﹣3+).

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