【题目】对于二次函数y=mx2+(5m+3)x+4m(m为常数且m≠0)有以下三种说法:
①不论m为何值,函数图象一定过定点(﹣1,﹣3);
②当m=﹣1时,函数图象与坐标轴有3个交点;
③当m<0,x≥﹣时,函数y随x的增大而减小;判断真假,并说明理由.
【答案】①是真命题,见解析;②是假命题,见解析;③是假命题,见解析.
【解析】
①根据二次函数y=mx2+(5m+3)x+4m,可进行变形,得到y═(x2+5x+4)m+3x,只要令x2+5x+4=0,则所得的x的值就与m无关,从而可以解答本题;
②将m=-1代入函数解析式,然后分别令x=0和y=0求出相应的y值和x的值,即可解答本题;
③根据抛物线的解析式可以求得对称轴,然后根据m<0,可知在对称轴右侧y随x的增大而减小,然后令对称轴的值等于-,求得m的值然后看m的值是否小于0,即可解答本题.
①是真命题,
理由:∵y=mx2+(5m+3)x+4m=(x2+5x+4)m+3x,
∴当x2+5x+4=0时,得x=-4或x=-1,
∴x=-1时,y=-3;x=-4时,y=-12;
∴二次函数y=mx2+(5m+3)x+4m(m为常数且m≠0)的图象一定过定点(-1,-3),
故①是真命题;
②是假命题,
理由:当m=-1时,则函数为y=-x2-2x-4,
∵当y=0时,-x2-2x-4=0,△=(-2)2-4×(-1)×(-4)=-12<0;当x=0时,y=-4;
∴抛物线与x轴无交点,与y轴一个交点,
故②是假命题;
③是假命题,
理由:∵y=mx2+(5m+3)x+4m,
∴对称轴x=﹣=﹣,
∵m<0,x≥﹣时,函数y随x的增大而减小,
∴ ,得m=,
∵m<0与m=矛盾,
故③为假命题.
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【题目】如图,在⊙O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.
D. ∠BAC=30°
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【题目】如图,在平面直角坐标系中抛物线y=(x+1)(x﹣3)与x轴相交于A、B两点,若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m,则m的值是( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
(1)求证:∠CAD=∠B.
(2)若AC是∠BAD的平分线,sinB=,BC=2.求⊙O的半径.
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【题目】某单位有职工200人,其中青年职工(20﹣35岁),中年职工(35﹣50岁),老年职工(50岁及以上)所占比例如扇形统计图所示.为了解该单位职工的健康情况,小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1:小张抽样调查单位3名职工的健康指数
年龄 | 26 | 42 | 57 |
健康指数 | 97 | 79 | 72 |
表2:小王抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄 | 23 | 25 | 26 | 32 | 33 | 37 | 39 | 42 | 48 | 52 |
健康指数 | 93 | 89 | 90 | 83 | 79 | 75 | 80 | 69 | 68 | <>60 |
表3:小李抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄 | 22 | 29 | 31 | 36 | 39 | 40 | 43 | 46 | 51 | 55 |
健康指数 | 94 | 90 | 88 | 85 | 82 | 78 | 72 | 76 | 62 | 60 |
根据上述材料回答问题:
(1)扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为
(2)小张、小王和小李三人中, 的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,4),CD是△AOB的中位线.若将△COD绕点O旋转,得到△C′OD′,射线AC′与射线BD′的交点为P.
(1)∠APB的度数是_____°.
(2)在旋转过程中,记P点横坐标为m,则m的取值范围是_____.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,﹣5).有一宽度为1,长度足够长的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q,交直线AC于点M和点N,交x轴于点E和点F.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;
(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sin∠AMF=,求点Q的坐标;
(3)在矩形的平移过程中,是否存在以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神,传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念,市实验学校利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动),九年级(6)班全班同学都参加了志愿服务活动,班长为了解志愿服务活动的情况,收集整理数据后,绘制成以下不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)求该班的人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)小明和小丽参加志愿服务活动,请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率.
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