Question

6．如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．

Answer 1

分析 在BC上找到F使得BF=BE，易证∠5=∠7=60°，即可证明△BIE≌△BIF，可得∠6=∠5=60°，即可证明△ICF≌△ICD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解题．

解答 证明：如图，

在BC上截取BF=BE，连接IF．
在△BFI和△BEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{BI=BI}\\{∠1=∠2}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFI≌△BEI，
∴∠5=∠6．
∵∠1=∠2．∠3=∠4，∠A=60°，
∴∠BIC=120°，
∴∠5=60°．
∴∠7=∠5=60°，∠6=∠5=60°，∠8=120°-60°=60°，
∴∠7=∠8．
在△IDC和△IFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{CI=CI}\\{∠7=∠8}\end{array}\right.$，
∴△IDC≌△IFC，
∴CD=CF，
∴CD+BE=CF+BF，即CD+BE=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，构造三角形全等△BFI≌△BEI，求证△ICF≌△ICD是解题的关键．