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【题目】如图所示,正方形纸片ABCD中,对角线ACBD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交ABAC于点EG,连接GF,给出下列结论:

①∠ADG=22.5°;②tanAED=2;③SAGD=SOGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若SOGF=1,则正方形ABCD的面积是6+4 ,其中正确的结论个数有()

A. 2B. 4C. 3D. 5

【答案】C

【解析】

根据四边形ABCD为正方形,以及折叠的性质,可以直接得到∠ADG的角度,以及AE=FE,在BEF中,EFBE,可以得到2AEAB,结合三角函数的定义对②作出判断;

AGDOGD中高相等,底不同,可以直接判断其大小,而四边形AEFG是菱形的判定需证得AE=EF=GF=AG

要计算OGBE的关系,我们需利用到中间量EF,即四边形AEFG的边长,可以转化出BEOG的关系;

当已知OGF的面积时,根据菱形的性质,可以求得OG的长,进而求出BE的长度,而AE的长度与GF相同,GF可由勾股定理得出,进而求出AB的长度,正方形ABCD的面积也出来了.

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠GAD=ADO=45°.

由折叠的性质可得:∠ADG=ADO=22.5°,故①正确;

∵由折叠的性质可得:AE=EF,∠EFD=EAD=90°

AE=EFBE

AEAB

2.故②错误;

∵∠AOB=90°

AG=FGOG.

∵△AGDOGD同高,

SAGDSOGD.故③错误;

∵∠EFD=AOF=90°

EFAC

∴∠FEG=AGE.

∵∠AGE=FGE

∴∠FEG=FGE

EF=GF.

AE=EF

AE=GF.

AE=EF=GFAG=GF

AE=EF=GF=AG

∴四边形AEFG是菱形,故④正确;

∵四边形AEFG是菱形,

∴∠OGF=OAB=45°

EF=GF=OG

BE=EF=×OG=2OG.故⑤正确;

∵四边形AEFG是菱形,

ABGFAB=GF.

∵∠BAO=45°,∠GOF=90°

∴△OGF是等腰直角三角形.

SOGF=1

OG=1

解得OG=

BE=2OG=2

GF=

AE=GF=2

AB=BE+AE=2+2

S四边形ABCD=AB =(2 +2) =12+8 .故⑥错误.

∴其中正确结论的序号是①④⑤,共3.

故选C.

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       (      

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∴∠BAE-∠NAE        

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