Question

如图，从等腰△ABC内一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD+PE=PF．求适合条件的点P的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹

专题：

分析：根据等腰三角形的性质，可得BC=2BG，根据锐角三角函数，可得BG=AB•cos∠B，根据三角形的面积的和差，可得S_△APB+S_△APC+S_△BPC=S_△ABC，根据三角形的性质，可得PE的长度，可得答案．

解答：解：如图：

连接AP、BP、CP，作AG⊥BC与G，
由等腰三角形的性质，得BC=2BG．
由锐角三角函数，得
BG=AB•cos∠B，
即BC=2AB•cos∠B．
由三角形的面积，得
S_△APB+S_△APC+S_△BPC=S_△ABC，
即

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE+

1

2

BC•PF=S_△ABC，
由AB=AC，PD+PE=PF，BC=2AB•cos∠B，得
AB•PE（

1

2

+cos∠B）=S_△ABC．
△ABC是固定不变的，得
AB不变，cos∠B不变，S_△ABC不变，
PE的长度数不变的，
即P点轨迹为直线，平行于BC．

点评：本题考查了轨迹，利用了等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形的稳定性．