Question

19．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现快乐勾股定理的一种新的证明方法，如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到A′B′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，请利用此图证明勾股定理：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．

解答 证明：四边形BCC′D′为直角梯形，
∴S_{梯形BCC′D′}=$\frac{1}{2}$（BC+C′D′）•BD′=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，
又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′
∴∠BAC=∠B′AC′．
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；
∴S_{梯形BCC′D′}=S_△ABC+S_△CAC′+S_△D′AC′=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{c}^{2}+2ab}{2}$；
∴$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}+2ab}{2}$；
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的证明．证明勾股定理时，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．