Question

9．如图，在?ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断
（1）△ABE和△CDF全等吗？请说明理由；
（2）四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行线的性质，可得∠ABE=∠CDF，根据AAS，可得答案；
（2）根据平行线的判定，可得AE与CF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AE与CF的大小关系，根据平行四边形的判定，可得答案．

解答 解：（1）△ABE≌△CDF，理由如下：
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF=∠CFE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEF=∠CFE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
理由如下：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEF=∠CFE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用；利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．